BLOG DE ALFABETIZACIÓN MATEMÁTICA "DORA-SHEIKHA MAHRA BINT MOHAMMED BIN RASHID AL MAKTOUM"

BLOG DE ALFABETIZACIÓN MATEMÁTICA “DORA - SHEIKHA MAHRA BINT MOHAMMED BIN RASHID AL MAKTOUM”. Educación científica trilingüe.

"DORA - SHEIKHA MAHRA BINT MOHAMMED BIN RASHID AL MAKTOUM" MATHEMATICAL LITERACY BLOG. Trilingual science education.

"DORA - SHEIKHA MAHRA BINT MOHAMMED BIN RASHID AL MAKTOUM"  BLOG DE LITTÉRATIE MATHÉMATIQUE. Enseignement trilingue des sciences.

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CAPÍTULO I: "DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO: GALILEO GALILEI"

CHAPTER I: "DESCRIBING MOTION: GALILEO GALILEI"

CHAPITRE I: "DESCRIPTION DU MOUVEMENT : GALILEO GALILEI"

FRANK: "Vamos a aprender con paciencia y esfuerzo varias cosas muy interesantes respecto a las Leyes del movimiento de Newton , vectores y funciones trigonométricas."

ORYX: "Me encanta la Matemática y la Física."

FRANK: "Usaremos los siguientes símbolos para nuestro proceso de aprendizaje:

* significa que una afirmación está en idioma español y tiene su respectiva traducción al idioma inglés el cual está en letra cursiva y de un color más oscuro. 

+ significa que una afirmación está exclusivamente en idioma español. 

* significa que una afirmación está en idioma francés. Se presenta un resumen al final del blog con su respectiva traducción en inglés y castellano. 

ORYX: "Muy bien."

FRANK: "Saber tres idiomas es una ventaja para aprender ciencias físicas y matemáticas. Los hispanohablantes debemos sentirnos orgullosos de nuestro idioma, pues existen científicos de prestigio internacional que tienen al español como lengua materna o propia. El presente blog de alfabetización matemática está especialmente dirigido a estudiantes de habla hispana quienes tras una transición del castellano al inglés , amplían sus conocimientos por medio del idioma francés. El presente blog no pretende reemplazar la actividad del docente ni su herramienta de trabajo, el libro de texto, sino que busca simplemente alcanzar los objetivos de  una tesis de Maestría en Enseñanza de la Matemática."

GALILEO GALILEI (1564- 1642) 

*La Física es la rama de la ciencia que describe la materia, la energía, el espacio y el tiempo en el nivel más fundamental.

Physics is the branch of science that describes matter, energy, space, and time at the most fundamental level.

*La Física es una ciencia experimental. Los físicos observan los fenómenos naturales e intentan encontrar los patrones y principios que los describen. Tales patrones se denominan teorías físicas o, si están muy bien establecidos y se usan ampliamente, leyes o principios físicos.

Physics is an experimental science. Physicists observe the phenomena of nature and try to find patterns that relate these phenomena. These patterns are called physical theories or, when they are very well established and widely used, physical laws or principles.

*Como todas las otras ciencias, la física se sustenta en observaciones experimentales y mediciones cuantitativas. Los objetivos principales de la física son identificar un número limitado de leyes fundamentales que rigen los fenómenos naturales y usarlas para desarrollar teorías capaces de anticipar los resultados experimentales. Las leyes fundamentales que se usan para elaborar teorías se expresan en el lenguaje de las matemáticas, la herramienta que proporciona un puente entre teoría y experimento. 

Like all other sciences, physics is based on experimental observations and quantitative measurements. The main objectives of physics are to identify a limited number of fundamental laws that govern natural phenomena and use them to develop theories that can predict the results of future experiments. The fundamental laws used in developing theories are expressed in the language of mathematics, the tool that provides a bridge between theory and experiment.

*Cuando hay discrepancia entre el pronóstico de una teoría y un resultado experimental, es necesario formular teorías nuevas o modificadas para resolver la discrepancia. Muchas veces una teoría es satisfactoria sólo bajo condiciones limitadas; a veces una teoría general es satisfactoria sin ciertas limitaciones.

When there is a discrepancy between the prediction of a theory and experimental results, new or modified theories must be formulated to remove the discrepancy. Many times a theory is satisfactory only under limited conditions; a more general theory might be satisfactory without such limitations.

*El estudio de la Física se divide en seis áreas primordiales:

1. mecánica clásica, estudia el movimiento de los objetos que son grandes en relación con los átomos y se mueven con una rapidez mucho más lenta que la de la luz;

2. relatividad, teoría que describe los objetos que se mueven con cualquier rapidez, incluso los que se aproximan a la rapidez de la luz;

3. termodinámica, trata del calor, el trabajo, la temperatura y el comportamiento estadístico de los sistemas con gran número de partículas;

4. electromagnetismo, le competen la electricidad, el magnetismo y los campos electromagnéticos;

5. óptica, estudia el comportamiento de la luz y su interacción con los materiales;

6. mecánica cuántica, un conjunto de teorías que conectan el comportamiento de la materia al nivel submicroscópico con las observaciones macroscópicas.

The study of physics can be divided into six main areas:

1. classical mechanics, concerning the motion of objects that are large relative to atoms and move at speeds much slower than the speed of light;

2. relativity, a theory describing objects moving at any speed, even speeds approaching the speed of light;

3. thermodynamics, dealing with heat, work, temperature, and the statistical behavior of systems with large numbers of particles;

4. electromagnetism, concerned with electricity, magnetism, and electromagnetic fields;

5. optics, the study of the behavior of light and its interaction with materials;

6. quantum mechanics, a collection of theories connecting the behavior of matter at the submicroscopic level to macroscopic observations.

*En el presente blog estudiamos a la mecánica clásica, conocida como mecánica newtoniana o simplemente mecánica. Muchos principios y modelos que se aplican para comprender los sistemas mecánicos conservan su importancia en las teorías de otras áreas de la física y sirven para describir muchos fenómenos naturales. Debido a eso, la mecánica clásica es trascendente para los estudiantes de todas las disciplinas.

In the present blog we study classical mechanics, sometimes referred to as Newtonian mechanics or simply mechanics. Many principles and models used to understand mechanical systems retain their importance in the theories of other areas of physics and can later be used to describe many natural phenomena. Therefore, classical mechanics is of vital importance to students from all disciplines.

*Como una primera etapa en el estudio de la mecánica clásica, se describe el movimiento de un objeto mientras se ignoran las interacciones con agentes externos que pueden causar o modificar dicho movimiento. Esta parte de la mecánica clásica se llama cinemática. (La palabra cinemática tiene la misma raíz que cinema. ¿Entiende por qué?) En este capítulo, se considera sólo el movimiento en una dimensión, esto es: el movimiento de un objeto a lo largo de una línea recta.

As a first step in studying classical mechanics, we describe the motion of an object while ignoring the interactions with external agents that might be causing or modifying that motion. This portion of classical mechanics is called kinematics. (The word kinematics has the same root as cinema. Can you see why?) In this chapter, we consider only motion in one dimension, that is, motion of an object along a straight line.

*En otras palabras, el estudio del movimiento de objetos, y los conceptos afines de fuerza y energía, constituyen el campo de la física llamado mecánica. En general, la mecánica se divide en dos partes: cinemática, que es la descripción de cómo se mueven los objetos, y dinámica, que estudia la fuerza y las causas que provocan que los objetos se muevan como lo hacen. 

In other words, the study of the motion of objects and the related concepts of force and energy, form the field called mechanics. Mechanics is customarily divided into two parts: kinematics, which is the description of how objects move, and dynamics, which deals with force and why objects move as they do.

+El método experimental no aparece bruscamente; resulta de un esfuerzo colectivo. Realmente fue Galileo el primero que analizó detenidamente ciertos fenómenos, que aplicó integralmente el método experimental, que empleó las funciones matemáticas en las ciencias y que publicó sus investigaciones; es por esto que se le conoce como “el padre de la Física”.

+Según la teoría de Aristóteles del movimiento, que había sido aceptada durante unos 1500 años antes de la época de Galileo, el estado normal de todo cuerpo es el reposo (con la excepción de los cuerpos celestes, que se pensaba estaban naturalmente en movimiento). Aristóteles probablemente observó que los objetos que se mueven sobre una superficie tienden a bajar su velocidad y detenerse, así que su conclusión le pareció lógica. 

*En otras palabras,  Aristóteles llegó a la conclusión de que se requería una fuerza constante para producir una velocidad uniforme. Resulta, pues, que en ausencia de fuerzas, los cuerpos deben alcanzar el reposo. (ver figuras M-1 y M-2)

In other words, Aristotle concluded that a constant force was required to produce a constant velocity. It then follows that in the absence of force bodies would come to rest. (see figures M-1 and M-2)

*Fue en el siglo XVII cuando Galileo afirma lo siguiente: “...cualquier velocidad , una vez impartida a un cuerpo, se mantendrá constantemente, en tanto no existan causas de aceleración o desaceleración, fenómeno que sólo se observará aproximadamente en planos horizontales donde la fuerza de fricción se haya reducido a un mínimo”. Esta afirmación lleva consigo el principio de inercia de Galileo. Brevemente dice: Si no se ejerce ninguna fuerza sobre un cuerpo, éste permanecerá en reposo o se mueve en línea recta con velocidad constante. 

In the seventeenth century Galileo asserted that: "...any velocity once imparted to a body will be rigidly maintained as long as there are no causes of acceleration or retardation, a condition which is approached only on horizontal planes where the force of friction has been minimized." This statement embodies Galileo's law of inertia. Briefly it says: When no force is exerted on a body, it stays at rest or it moves in a straight line with constant speed. 

*¿Cómo llegó Galileo a esta conclusión de que el movimiento constante no requiere ninguna fuerza, tan distinta de nuestra experiencia diaria? 

How did Galileo reach the startling conclusion, so different from everyday experience, that constant motion requires no force? 

Galileo observó que una bola tiende a subir hasta alcanzar su altura original, sin tener en cuenta la pendiente del plano inclinado. Con pendiente cero, la altura nunca se alcanzará y, por tanto, el movimiento sobre un plano horizontal sería perpetuo.

Galileo observed that a ball tends to rise to its original height regardless of the slope of the incline. With zero slope , the original height can never be reached. Therefore motion along a horizontal plane should be perpetual. 

 

*Galileo pensaba que la caída de un cuerpo es una fenómeno que ocurre muy rápido, por lo que es muy difícil de estudiar. Asimismo, pensaba que un cuerpo que cae por un plano inclinado es un fenómeno similar a la caída libre. La ventaja es que ocurre más lentamente. 

Galileo thought that the fall of a body is a phenomenon that occurs very quickly, so it is very difficult to study. He also thought that a body falling down an inclined plane is a phenomenon similar to free fall. The advantage is that it happens more slowly. 

A continuación, se describe el experimento del pensamiento de Galileo (ver figura M-3, M-4):

 

Figure M-3. Galileo observed that a ball tends to rise to its original height regardless of the slope of tyhe incline. With zero slope, the original height can never be reached. Therefore, motion along a horizontal plane should be perpetual. 

Figure M-4. From observing motion on inclined planes, Galileo reasoned that motion along a horizontal plane is steady. 

*Galileo había sugerido que la esfera en su plano horizontal rueda eternamente, pero fue Newton quien se dió cuenta de que hay más que decir que esto. A menos que algo desde el exterior aplique una fuerza para cambiarlo, la velocidad de un objeto (tanto su velocidad como su dirección) debe seguir siendo la misma. 

Galileo had suggested that the sphere on his horizontal plane went on forever, but it was Newton who realised that there is more to say than this. Unless something from outside applies a force to change it, the velocity of an object (both its speed and its direction) must remain the same.

*Esto se oponía directamente a la opinión de Aristóteles de que una fuerza tenía que seguir empujando constantemente a un objeto en movimiento para que la velocidad se mantuviera igual. El movimiento constante parece requerir una fuerza constate. (ver figura M-5)

This was directly opposed to Aristotle’s view that a force had to keep pushing constantly at a moving object for the speed to remain the same. Steady motion seems to require a steady force. (see figure M-5)

*Utilizando el material que nos ofrece la técnica actual podemos repetir las experiencias idealizadas de Galileo acerca del movimiento sin fuerza. (ver figuras M-6, M-7, M-8).

With modern equipment we can do experiments that almost realize Galileo's idealized experiment on motion without force (see figures M-6, M-7, M-8).

*Para obtener una fotografía mediante destellos análoga a la de la figura M-7, utilizaremos un disco especial carente prácticamente de rozamiento, el cual se desliza en una superficie de vidrio sobre una capa de gas carbónico y al que en adelante denominaremos simplemente disco sin rozamiento. El gas desprendido elimina prácticamente todo rozamiento. En la figura M-8 puede verse el dispositivo que emplearemos. Consiste en un disco de metal pesado perfectamente pulido por la superficie inferior y en cuya parte superior existe un recipiente lleno de pedazos de hielo seco. El dióxido de carbono sólido se transforma lentamente en gas que escapa a través de un pequeño orificio en el centro de la base del disco de metal (figura M-6). Así pues se mantiene constante una delgada capa de gas entre este disco y la superficie de vidrio; el dispositivo flota sobre dicha capa. 

La fotografía de la figura M-7 se tomó haciendo 24 destellos luminosos en 10 segundos, es decir, con un destello cada 10/24 seg., cuando el disco sin rozamiento se deslizaba sobre la superficie lisa de cristal. Como puede comprobarse, la distancia recorrida en cada intervalo es casi constante. La velocidad apenas si ha variado.

To get the flash photograph of figure M-7, we used a dry ice puck sliding across a glass surface on a layer of gas. The gas bearing almost eliminates friction. In figure M-8 you can see the puck we used. It is a heavy metal disc, highly polished on the bottom surface and carrying a container full pieces of dry ice. This frozen carbon dioxide changes slowly into a gas which escapes through a small hole in the center of the bottom of the metal disc ( figure M-6). Thus a thin layer of gas is provided continuosly between the metal disc and the glass surface; the puck floats on the gas layer. 

The photograph of figure M-7 was taken by flashing a light 24 times in 10 seconds, or every 10/24 sec, as the puck coasted over the smooth glass surface. As you can see, the displacement of the puck between flashes is almost constant. The velocity changes hardly at all. 

Figure M-5. Steady motion seems to require a steady force. 

Figure M-6. Dry Ice inside the puck changes into a gas which escapes through the hole in the bottom of the puck. 

Figure M-7. The motion of a Dry Ice puck. It moved from left to right while the light was flashed 24 times in 10 sec , or every 10/24 sec. The scale at the bottom is in centimeters. Here is a close approach to the ideal situation of motion without force. The puck has a nearly constant displacement in equal time intervals. 

Figure M-8. A Dry Ice puck, as described in the text, rests on a smooth glass surface. With such apparatus we can study almost frictionless motion. 

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*Si no tiene tiempo de leerlos ahora, descárguelos, imprímalos y hágalo cuando le interese (archivos en formato PDF).

If you don't have time to read them now, download, print off and take away with you (archives in PDF format).

https://drive.google.com/file/d/1aT9-mQfTMvmfuLGdD_8up4oSLHuQDDKU/view?usp=sharing

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https://drive.google.com/file/d/1xPNjemzU6HIWedBzoizViKousM7PzvOw/view?usp=sharing

CAPÍTULO II: "VECTORES Y NOCIONES DE CINEMÁTICA"

CHAPTER II: "VECTORS AND NOTIONS OF KINEMATICS"

CHAPITRE II : "VECTEURS ET NOTIONS DE LA CINÉMATIQUE"

+Es común al estudiar el movimiento de un cuerpo cualquiera, que lo tratemos como una partícula. Decimos que un cuerpo es una partícula cuando sus dimensiones son muy pequeñas en comparación con las demás dimensiones que participan en el fenómeno. Por ejemplo, si un automóvil de 3,0 m. de longitud, se desplaza 15 m, no podrá considerarse como una partícula; pero, si el mismo automóvil viaja de una ciudad a otra que dista unos 200 km, la longitud del automóvil sí será despreciable en relación con esta distancia, y en este caso, el automóvil podrá ser considerado como una partícula. Cuando un cuerpo se puede considerar como una partícula, el estudio de su movimiento se simplifica bastante. Por este motivo, siempre que hablamos del movimiento de un objeto cualquiera (a menos que se indique lo contrario), lo estaremos considerando como si fuese una partícula (ver figura M-9). Para profundizar conocimientos al respecto, estudiar capítulo IV, figura M-41).

*En resumen, decimos que un cuerpo es una partícula cuando sus dimensiones son despreciables en comparación con las demás dimensiones en el problema. 

In summary, we say that a body is a particle when its dimensions are negligible compared to the other dimensions in the problem.

+Punto material: Idealización de un cuerpo material reducida a dimensiones cero, pero que conserva su masa y algunas propiedades. Estas propiedades surgen de la aplicación de las Leyes de la mecánica implementadas en forma sistemática por Isaac Newton. 

Esta idealización no siempre es correcta, por ejemplo cuando las velocidades de los objetos se acercan a la velocidad de la luz.

+La trayectoria es la línea descrita por el cuerpo durante su movimiento (ver figura M-10). Suponga que un avión, al volar horizontalmente, deja caer una bomba. Si observara la caída de dicha bomba estando dentro de la aeronave, observaría que cae según una línea vertical. 

+Por otra parte, si se estuviera de pie sobre la superficie de la Tierra (en B) observando la caída de la bomba, se advertiría que al caer describe una trayectoria curva. (ver figura M-11). En el primer caso, decimos que el movimiento de la bomba estaba siendo observado tomando como punto de referencia al avión y, en el segundo caso, desde una referencia en la Tierra. Este ejemplo nos demuestra que: El movimiento de un cuerpo, visto por un observador, depende del punto de referencia en el cual se halla situado.

+En la siguiente figura (ver figura M-12) el observador B, sentado en una locomotora que se desplaza sobre una vía, y el observador A, de pie en Tierra, observan una lámpara fijada al techo de la cabina. Para el observador A, la lámpara y el observador B se encuentran en movimiento, junto con la máquina. Por otra parte, desde el punto de vista del observador B, la lámpara y la locomotora se hallan en reposo, mientras que el observador A se desplaza en sentido contrario al del movimiento del vehículo. En otras palabras, B se desplaza hacia la derecha con respecto al observador A, y A lo hace hacia la izquierda en relación con el observador B.

*En resumen, la lámpara está inmóvil en relación con el observador B, pero se encuentra en movimiento en relación con el A (ver figura M-12). 

In summary, the lamp is stationary in relation to observer B, but is in motion in relation to A (see figure M-12)

*Cualquier medición de posición, distancia o rapidez se debe realizar con respecto a un marco de referencia. Por ejemplo, supongamos que mientras usted está sentado en un tren que viaja a 80 km/h, una persona pasa caminando por su lado hacia el frente del tren con una rapidez de 5 km/h. Estos 5 km/h son la rapidez de la persona con respecto al tren como marco de referencia. Con respecto al suelo, dicha persona se mueve con una rapidez de 80 km/h + 5 km/h = 85 km/h. Siempre es importante especificar el marco de referencia cuando se establece una rapidez (ver figura M-13). En la vida cotidiana, generalmente se da por sentado que la medición se hace “con respecto a la Tierra”; pero siempre que exista alguna posibilidad de confusión, habrá que especificar el marco de referencia. 

Any measurement of position, distance or speed must be made with respect to a reference frame or frame of reference. For example, while you are on a train traveling at 80 km/h, suppose a person walks past you toward the front of the train at a speed of , say, 5 km/h (see figure M-13). This 5 km/h is the person's speed respect to the train as frame of reference. With respect to the ground, that person is moving at a speed of 80 km/h + 5 km/h = 85 km/h. It is always important to specify the frame of reference when stating a speed. In everyday life, we usually mean "with respect to the Earth" without even thinking about it, but the reference frame must be specified whenever there might be confusion. 

* En resumen, una persona camina hacia el frente de un tren a 5 km/h. El tren se mueve a 80 km/h con respecto al suelo, así que la rapidez de la persona que camina, con respecto al suelo, es de 85 km/h. 

In short, a person walks toward the front of a train at 5 km/h. The train is moving 80 km/h with respect to the ground, so the walking person's speed. relative to the ground, is 85 km/h.

+Un espectador que está en la vereda y ve pasar a los ciclistas de una carrera asegurará que están en movimiento. Pero ¿qué dirá un ciclista respecto a uno de sus compañeros que permanece junto a él? Seguramente afirmará que su compañero no se mueve de su lado.

Fíjate en que el movimiento es relativo, ya que el estado de movimiento o reposo de un cuerpo depende del sistema de referencia elegido.

+Un observador situado en tierra observa que la posición del cartel respecto a él no varía. El cartel está en reposo respecto a un sistema de referencia situado en la estación. Un pasajero del tren observa que el cartel se mueve. El cartel está en movimiento respecto a un sistema de referencia situado en el tren (ver figura M-14, a).

+Un marco de referencia es simplemente un sistema de coordenadas que permite a un valor específico de tiempo y posición ser asignado a un evento.

Un evento es un incidente instantáneo que se produce en un punto específico del espacio.

Un marco de referencia comprende también relojes que permiten la ubicación temporal de los eventos. 

Entonces, un marco de referencia comprende:

a) Un cuerpo rígido (o conjunto de cuerpos rígidamente unidos entre sí) respecto al cual se puede determinar la posición o el cambio en posición de un objeto cuyo movimiento quiere estudiarse. Por ejemplo, los movimientos de una persona que se desplaza por el interior de un tren, pueden estudiarse refiriéndolos al propio tren: a sus paredes, techo, piso, y así el tren será un marco de referencia. Pero el tren va moviéndose por los rieles y su movimiento puede referirse a otro marco de referencia, localmente unido a la tierra, y del cual forman parte rieles, postes y estaciones. Y a su vez este marco está moviéndose respecto a otro marco de referencia determinado por el sol y las estrellas lejanas.

En un marco de referencia pueden elegirse diversos sistemas de coordenadas para dar la ubicación de un punto, como luego veremos con detalle.

Decir que el movimiento es esencialmente relativo significa que todo movimiento es movimiento respecto a un determinado marco de referencia. Carece de sentido afirmar que un cuerpo se mueve sin especificar respecto a cuál marco de referencia lo hace.

El movimiento de un cuerpo puede tener una descripción más simple en un marco de referencia que en otro. Así, el movimiento del planeta Marte resulta de gran complejidad referido a la tierra, pero referido al sol es un movimiento elíptico, casi circular, de descripción mucho más sencilla. Tras de un hecho como éste hay milenios de observación y estudio de los hombres.

Veremos después, en la dinámica, que hay unos marcos de referencia especiales de gran importancia: los marcos inerciales. 

b) Un marco de referencia comprende también relojes que permiten la ubicación temporal de los sucesos o acontecimientos. 

Ejemplos de eventos son un destello de luz, el momento en que dos objetos chocan y el punto máximo de un objeto en vuelo parabólico.

Los marcos de referencia a menudo son representados por un conjunto de ejes, generalmente dada la etiqueta 'S', como se muestra en la figura M-14, b. 

+Para definir un marco de referencia debemos especificar el origen, las direcciones de los ejes X e Y y el evento desde el que se inicia el tiempo. En el ejemplo de la figura M-14 el marco de referencia obvio es el de la Tierra. Sin embargo, también podríamos considerar el marco de referencia del cohete, en el que el cohete está estacionario y es la Tierra la que se ve moverse.

+El éxito de la mecánica Newtoniana es que permite el cálculo preciso de propiedades como desplazamiento, velocidad, aceleración y tiempo utilizando las ecuaciones de movimiento.

+Para describir los procesos que tienen lugar en la naturaleza debemos definir un sistema de referencia. El mismo consiste en un sistema de coordenadas y de un grupo de relojes sincronizados distribuidos a lo largo del eje coordenado y en reposo respecto al mismo. 

+Para establecer un sistema de coordenadas en tres dimensiones se escoge un punto fijo O (el origen) y tres rectas coordenadas perpendiculares entre sí (considera que los ejes “y” y “z” se encuentran en el plano del papel y que el eje “x” apunta hacia fuera de la hoja). Ver figura M-16.

+Las tres rectas coordenadas determinan tres planos coordenados que se indican en la figura M-17, a: el plano xy, el plano yz, el plano xz. Sea P un punto del espacio. Denotemos por Pxy a la proyección de P sobre el plano xy. Como Pxy se encuentra en el plano xy, podemos considerar sus coordenadas tal como lo hicimos en el plano. Sean a y b dichas coordenadas. Ahora, denotemos por c la distancia dirigida del plano xy al punto P. Si P está arriba del plano xy, c es un número positivo y si P está debajo del plano xy entonces c es negativo. Es claro que si P está en el plano xy, entonces c es cero.

Veamos la figura M-17, b: al punto P del espacio se le ha asociado una única terna coordenada (a;b;c) de R3. En este caso decimos que las coordenadas del punto P son (a;b;c) y con frecuencia hablaremos del punto P(a;b;c).

+Sistema de coordenadas: Corresponde a un sistema numérico que se asocia al marco de referencia para describir la posición de los cuerpos.

+Sistema de referencia: Un sistema de referencia es un conjunto de ejes coordenados que permiten hacer mediciones numéricas del movimiento de un cuerpo. 

+Marco de referencia: 

_Corresponde a un cuerpo, sistema o lugar del espacio desde el cual se puede describir la posición y el movimiento de un cuerpo.

_ Es un objeto material con respecto al cual se observa o mide el movimiento de un cuerpo. 

_ Marco de referencia es la materialización física de un sistema de referencia.

+Factores: 

-Punto de referencia u observador: Punto a partir del cual se consideran las distancias. 

-Sistema de eje de coordenadas: Se sitúa en el punto de referencia y desde él se define la posición de cualquier objeto o lugar. 

-Origen temporal: Corresponde al instante a partir del cual se mide el tiempo.

*Cuando describimos el movimiento de algo especificamos cómo se mueve en relación con otra cosa. En otras palabras, el movimiento requiere de un marco de referencia (un observador, un origen y unos ejes). Tenemos libertad de elegir el lugar de ese marco de referencia y de hacerlo mover respecto a otro marco. Cuando nuestro marco de referencia tiene aceleración cero, se llama marco de referencia inercial. En un marco inercial la fuerza hace que un objeto acelere de acuerdo con las leyes de Newton. Cuando nuestro marco de referencia acelera, se observan fuerzas y movimientos ficticios (capítulo V). Por ejemplo, las observaciones desde un carrusel son distintas cuando gira que cuando está en reposo. Nuestra descripción del movimiento y de la fuerza depende de nuestro “punto de vista”.

When we describe the motion of something, we say how it moves relative to something else . In other words, motion requires a reference frame (an observer, origin, and axes). We are free to choose this frame's location and to have it moving relative to another frame. When our frame of motion has zero acceleration, it is called an inertial frame. In an inertial frame, force causes an object to accelerate in accord with Newton's laws. When our frame of reference is accelerated, we observe fictitious forces and motions (Chapter V). Observations from a carousel, for example, are different when it is rotating and when it is at rest. Our description of motion and force depends on our "point of view."

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